Question

（本大題滿分12分）設函數（為自然對數的底數），

（1）當=1時，求過點（1，）處的切線與坐標軸圍成的面積；

（2）若在（0，1）恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1），面積；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用導數的幾何意義求曲線在點處的切線方程，注意這個點的切點,利用導數的幾何意義求切線的斜率；（2）對于恒成立的問題，常用到兩個結論：（1，（2）；（3）利用導數方法證明不等式在區間上恒成立的基本方法是構造函數，然后根據函數的單調性，或者函數的最值證明函數，其中一個重要的技巧就是找到函數在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口，觀察式子的特點，找到特點證明不等式.

試題解析：（1）當時,,,,,

函數在點處的切線方程為 ，即

設切線與軸的交點分別為A,B.

令得,令得,∴,

.

在點處的切線與坐標軸圍成的圖形的面積為 5分

（2）由得,

令, 8分

令, ,

∵,∴,在為減函數 ，

∴ , 又∵, ∴

∴在為增函數, , 因此只需 12分

考點：1、求曲線的切線方程；2、三角形的面積；3、恒成立的問題.