Question

圖1是一個正方體的表面展開圖，MN和PB是兩條面對角線，請在圖2的正方體中將MN和PB畫出來，并就這個正方體解決下列問題

（1） 求證：MN//平面PBD； （2）求證：AQ平面PBD；
（3）求二面角P-DB-M的余弦值。

Answer 1

（1）只需證MN//BD；（2）只需證，。（3）。

解析試題分析：畫出MN和PB如圖所示

（1） 證明：在正方體ABCD-PMQN中
  MN//BD  MN//平面PBD     
（2）證明：在正方體ABCD-PMQN中

   

同理可證 ：  
        
（3）解： 建立空間直角坐標系如圖所示，設正方體的棱長為1
則 A(1,0,0), Q(0,1,1) , C(0,1,0)
由知平面PBD的一個法向量是
平面MBD的一個法向量是

 二面角P-DB-M的余弦值為 .
考點：正方體的的平面展開圖；線面平行的判定定理；線面垂直的判定定理；二面角。
點評：綜合法求二面角，往往需要作出平面角，這是幾何中一大難點，而用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，經過簡單運算即可，從而體現了空間向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分別是二面的兩個半平面內與棱垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角； ②設分別是二面角的兩個面α，β的法向量，則向量的夾角(或其補角)的大小就是二面角的平面角的大小。