Question

【題目】已知數列{an}是無窮數列，滿足lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…）．
（1）若a1=2，a2=3，求a3 ， a4 ， a5的值；
（2）求證：“數列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0”是“數列{an}中有無數多項是1”的充要條件；
（3）求證：在數列{an}中ak（k∈N*），使得1≤ak＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=2，a2=3，lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），

∴lga3=|lg3﹣lg2|= ，即 ；

，即a4=2；

，即 ；

（2）證明：必要性、已知數列{an}中有無數多項是1，則數列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0．

∵數列{an}中有無數多項是1，∴數列{an}中存在ak（k∈N*）使得ak=1，

即數列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0．

充分性：已知數列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0，則數列{an}中有無數多項是1．

假設數列{an}中沒有無數多項是1，不妨設 是數列{an}中為1的最后一項，則am+1≠1，

若am+1＞1，則由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），可得lgam+2=lgam+1，

∴lgam+3=|lgam+2﹣lgam+1|=0，則lgam+3=1，與假設矛盾；

若0＜am+1＜0，則由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），可得lgam+2=﹣lgam+1，

∴lgam+3=|lgam+2﹣lgam+1|=﹣2lgam+1，

lgam+4=|lgam+3﹣lgam+2|=|﹣2lgam+1+lgam+1|=﹣lgam+1，

lgam+5=|lgam+4﹣lgam+3|=|﹣lgam+1+2lgam+1|=﹣lgam+1，

∴lgam+6=|lgam+5﹣lgam+4|=0，得lgam+6=1，與假設矛盾．

綜上，假設不成立，原命題正確；

（3）證明：假設數列{an}中不存在ak（k∈N*），使得1≤ak＜2，

則0＜ak＜1或ak≥2（k=1，2，3，…）．

由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），可得

（n=1，2，3，…）*，且an＞0（n=1，2，3，…），

∴當n≥2時，an≥1，an≥2（n=3，4，5，…）．

若a4=a3≥2，則a5=1，與a5≥2矛盾；

若a4≠a3≥2，

設bm=max{a2m+1，a2m+2}（m=1，2，3，…），則bm≥2．

由（*）可得， ，

，

∴ ，即 （m=1，2，3，…），

∴ ，

對于b1，顯然存在l使得 ．

∴ ，這與bm≥2矛盾．

∴假設不成立，原命題正確

【解析】（1）由a1=2，a2=3，結合lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…）可得a3 ， a4 ， a5的值；（2）分必要性和充分性證明，充分性利用反證法證明；（3）利用反證法，假設數列{an}中不存在ak（k∈N*），使得1≤ak＜2，則0＜ak＜1或ak≥2（k=1，2，3，…）．然后分類推出矛盾得答案．
【考點精析】關于本題考查的數列的通項公式，需要了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．