Question

已知函數f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

．
（1）求f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）的值；
（2）當x∈（-a，a]，其中a∈（0，1]，a是常數，函數f（x）是否存在最小值？若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由

1-x

1+x

＞0求得函數f（x）的定義域，再根據f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數，即f（-x）+f（x）=0，從而得到f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）的值．
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，求得f（x₂）-f（x₁）＜0，即 f（x₂）＜f（x₁），可得函數f（x）在其定義域（-1，1）上是減函數，從而求得函數f（x）在（-a，a]上的最小值．

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0可得-1＜x＜1，故函數f（x）的定義域為（-1，1）．
又f（-x）=x+log₂

1-x

1+x

=x-log₂

1-x

1+x

=-f（x），
∴f（x）為奇函數，即f（-x）+f（x）=0，
∴f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）=0．
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x₂）-f（x₁）=（-x₂+x₁）+log2

1-x2

1+2

-log2

1-x1

1+1

，
由題設可得 （-x₂+x₁）＜0，

1-x1

1+1

＞

1-x2

1+2

，∴log2

1-x1

1+1

＞log2

1-x2

1+2

，
∴（-x₂+x₁）+log2

1-x2

1+2

-log2

1-x1

1+1

＜0，即 f（x₂）＜f（x₁），
故函數f（x）在其定義域（-1，1）上是減函數．
x∈（-a，a]，其中a∈（0，1]，a是常數，
故函數f（x）在（-a，a]上是減函數，故當x=a時，函數取得最小值為-a+log2

1-a

1+a

．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合應用，函數的奇偶性、單調性的判斷和證明，屬于中檔題．