Question

已知a，b∈R，0＜b＜a＜e，其中e是自然對數的底數．
（1）試猜想a^b與b^a的大小關系；
（2）證明你的結論．

Answer 1

（1）取a=2，b=1可知：a^b＞b^a，又當a=1，b=

1

2

時，a^b＞b^a
由此猜測a^b＞b^a對一切0＜b＜a＜e成立…（6分）
（2）要證a^b＞b^a對一切0＜b＜a＜e成立
只需證lna^b＞lnb^a即證blna＞alnb也即

lna

a

＞

lnb

b

…（8分）
考慮函數f(x)=

lnx

x

在（0，e）上的單調性…（10分）
f′(x)=

1-lnx

x2

，當x∈（0，e）時，f'（x）＞0恒成立
∴f(x)=

lnx

x

在（0，e）上單調遞增…（12分）
∴f(a)＞f(b)即

lna

a

＞

lnb

b

∴a^b＞b^a…（14分）