Question

已知a，b∈R，0＜b＜a＜e，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）試猜想a^b與b^a的大小關(guān)系；
（2）證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）對a和b進(jìn)行賦值，取a=2，b=1可知：a^b＞b^a，又當(dāng)a=1，b=

1

2

時，a^b＞b^a由此猜測a^b＞b^a對一切0＜b＜a＜e成立；
（2）要證a^b＞b^a對一切0＜b＜a＜e成立只需證lna^b＞lnb^a即證blna＞alnb也即

lna

a

＞

lnb

b

，考慮函數(shù)f(x)=

lnx

x

在（0，e）上的單調(diào)性即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）取a=2，b=1可知：a^b＞b^a，又當(dāng)a=1，b=

1

2

時，a^b＞b^a
由此猜測a^b＞b^a對一切0＜b＜a＜e成立…（6分）
（2）要證a^b＞b^a對一切0＜b＜a＜e成立
只需證lna^b＞lnb^a即證blna＞alnb也即

lna

a

＞

lnb

b

…（8分）
考慮函數(shù)f(x)=

lnx

x

在（0，e）上的單調(diào)性…（10分）
f′(x)=

1-lnx

x2

，當(dāng)x∈（0，e）時，f'（x）＞0恒成立
∴f(x)=

lnx

x

在（0，e）上單調(diào)遞增…（12分）
∴f(a)＞f(b)即

lna

a

＞

lnb

b

∴a^b＞b^a…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及賦值法的運(yùn)用，進(jìn)行合理的歸納、猜想，同時考查了分析法，屬于中檔題．