Question

下列說法中正確的是

 

．（填序號）
①“m＞5”是“

x2

5-m

-

y2

1-m

=1表示雙曲線”的充分不必要條件；
②已知P為雙曲線

x2

25

-

y2

16

=1上一點，F₁，F₂分別為雙曲線的左，右焦點，若|PF₁|=11，則|PF₂|=21或1；
③若在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上存在點P滿足|PF₁|=3|PF₂|，則雙曲線的離心率的范圍是（1，2]；
④直線3x-4y-4=0與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1有兩個不同的交點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,簡易邏輯

分析：求出方程

x2

5-m

-

y2

1-m

=1表示雙曲線的m的范圍判斷①；由雙曲線的定義求出|PF₂|判斷②；
由題意求出雙曲線的離心率的范圍判斷③；聯立直線與雙曲線方程求解交點判斷④．

解答： 解：對于①，當m＞5時，

x2

5-m

-

y2

1-m

=1表示雙曲線，
若

x2

5-m

-

y2

1-m

=1表示雙曲線，則（5-m）（1-m）＞0，解得m＜1或m＞5，
∴“m＞5”是“

x2

5-m

-

y2

1-m

=1表示雙曲線”的充分不必要條件，命題①正確；
對于②，已知P為雙曲線

x2

25

-

y2

16

=1上一點，F₁，F₂分別為雙曲線的左，右焦點，則|PF₁|-|PF₂|=±10，
若|PF₁|=11，則|PF₂|=21或1，命題②正確；
對于③，若在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上存在點P滿足|PF₁|=3|PF₂|，
設P點的橫坐標為x，∵|PF₁|=3|PF₂|，P在雙曲線右支（x≥a），
根據雙曲線的第二定義，可得3e（x-

a2

c

）=e（x+

a2

c

），∴ex=2a，
∵x≥a，∴ex≥ea，
∴2a≥ea，∴e≤2，
∵e＞1，∴1＜e≤2．
則雙曲線的離心率的范圍是（1，2]，命題③正確；
對于④，聯立

3x-4y-4=0 x2 16 - y2 9 =1

，得

x= 20 3 y=4

，直線3x-4y-4=0與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1有一個交點，命題④錯誤．
∴正確的命題是①②③．
故答案為：①②③．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了圓錐曲線的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系問題，是中檔題．