Question

（2013•湛江二模）對(duì)集合A，如果存在x₀使得對(duì)任意正數(shù)a，都存在x∈A，使0＜|x-x₀|＜a，則稱x₀為集合A的“聚點(diǎn)”，給出下列四個(gè)集合：
①{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}；
②{x∈R|x≠0}；
③{

1

n

|n∈Z，n≠0}；
④Z．
其中以0為“聚點(diǎn)”的集合是（　　）

A．②③

B．①②

C．①③

D．②④

Answer 1

分析：利用“聚點(diǎn)”的定義可得①的聚點(diǎn)是1，②的聚點(diǎn)是0，③的聚點(diǎn)是0，而④無(wú)聚點(diǎn)．

解答：解：①令f（n）=

n

n+1

，則f(n+1)-f(n)=

n+1

n+2

-

n

n+1

=

1

(n+1)(n+2)

＞0，即f（n）=

n

n+1

當(dāng)n∈N時(shí)單調(diào)遞增，則1為其“聚點(diǎn)”，下面給出證明：
取x₀=1，對(duì)任意正數(shù)a，要使0＜|

n

n+1

-1|=|

1

n+1

|＜a成立，只要取正整數(shù)n=[

1

a

-1]+2，故1是其“聚點(diǎn)”；
②由實(shí)數(shù)的稠密性可知：對(duì)任意正數(shù)a，都存在x=

a

2

∈{x∈R|x≠0}，使0＜|x-0|＜a成立，故0是此集合的“聚點(diǎn)”；
③∵

1

n+1

=1-

n

n+1

，由（1）可知：0為集合{

1

n

|n∈Z，n≠0}，根據(jù)“聚點(diǎn)”的定義可知，0是其聚點(diǎn)；
④?n∈Z，且n≠0，則|n|≥1，故取0＜a＜1，則不存在x∈Z，使0＜|x-x₀|＜a成立，根據(jù)“聚點(diǎn)”的定義可知：所給集合不存在聚點(diǎn)．
綜上可知：只有②③正確；
故選A．

點(diǎn)評(píng)：正確理解函數(shù)的單調(diào)性、實(shí)數(shù)的稠密性、聚點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．