Question

四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD，如圖所示.

（Ⅰ）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積；

（Ⅱ）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：∵PB⊥面ABCD， ∴BA是PA在面ABCD上的射影. 又DA⊥AB，∴PA⊥DA， ∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角如圖，∠PAB=60°. 而PB是四棱錐P—ABCD的高，PB=AB·tan60°=a， ∴V錐=a·a2=a3. （Ⅱ）證明：不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側面PAD與PCD恒為全等三角形. 作AE⊥DP，垂足為E，連結EC，則△ADE≌△CDE， ∴AE=CE，∠CED=90°，故∠CEA是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角. 設AC與DB相交于點O，連結EO，則EO⊥AC， ∴a=OA＜AE＜AD=a. 在△AEC中， cosAEC=. 所以，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°.