Question

設m，n∈（1，+∞），若直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓（x-1）²+（y-1）²=1相切，則m+n的最小值為

2+2

2

．

Answer 1

分析：根據題中的直線與圓相切，可得圓心到直線的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式建立關于m、n的等式，化簡整理得到m+n+1=mn．利用基本不等式mn≤（

m+n

2

）²，化簡得到（m+n）²-4（m+n）-4≥0，解之得m+n≥2+2

2

，由此即可得到當m=n=1+

2

時，m+n的最小值為2+2

2

．

解答：解：∵圓的方程是（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圓心為C（1，1），半徑r=1．
∵直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓相切，
∴圓心到直線的距離等于半徑r，
即d=

|m+1+n+1-2|

(m+1)2+(n+1)2

=1，化簡得m+n+1=mn，
∵m、n∈（1，+∞），可得mn≤（

m+n

2

）²，
∴m+n+1≤

1

4

（m+n）²，整理得（m+n）²-4（m+n）-4≥0，
解之得m+n≤2-2

2

或m+n≥2+2

2

，
∵m、n∈（1，+∞），∴m+n≤2-2

2

不成立，故m+n≥2+2

2

，
當且僅當m=n=1+

2

時，m+n的最小值為為2+2

2

．
故答案為：2+2

2

點評：本題著重考查了圓的標準方程、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式、利用基本不等式求最值和不等式的解法等知識，屬于中檔題．