Question

2．求極限$\underset{lim}{x→∞}$（$\frac{{x}^{2}}{（x-a）（x+b）}$）^x．

Answer 1

分析 $\underset{lim}{x→∞}$（$\frac{{x}^{2}}{（x-a）（x+b）}$）^x=$\underset{lim}{x→∞}{e}^{ln（\frac{{x}^{2}}{（x-a）（x+b）}）^{x}}$=${e}^{\underset{lim}{x→∞}xln[\frac{{x}^{2}}{（x-a）（x+b）}-1+1]}$，根據x→0時，x～ln（x+1），可得$\underset{lim}{x→∞}$（$\frac{{x}^{2}}{（x-a）（x+b）}$）^x=${e}^{\underset{lim}{x→∞}x[\frac{{x}^{2}}{（x-a）（x+b）}-1]}$=a-b，即可得出．

解答 解：$\underset{lim}{x→∞}$（$\frac{{x}^{2}}{（x-a）（x+b）}$）^x=$\underset{lim}{x→∞}{e}^{ln（\frac{{x}^{2}}{（x-a）（x+b）}）^{x}}$=${e}^{\underset{lim}{x→∞}xln[\frac{{x}^{2}}{（x-a）（x+b）}-1+1]}$，
∵x→0時，x～ln（x+1），
∴$\underset{lim}{x→∞}$（$\frac{{x}^{2}}{（x-a）（x+b）}$）^x=${e}^{\underset{lim}{x→∞}x[\frac{{x}^{2}}{（x-a）（x+b）}-1]}$，
∵$\underset{lim}{x→∞}$$x[\frac{{x}^{2}}{（x-a）（x+b）}-1]$=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{x（ax-bx+ab）}{（x-a）（x+b）}$=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{（a-b）+\frac{ab}{{x}^{2}}}{1+\frac{b-a}{x}+\frac{-ab}{{x}^{2}}}$=a-b．
∴$\underset{lim}{x→∞}$（$\frac{{x}^{2}}{（x-a）（x+b）}$）^x=e^a-b．

點評 本題考查了極限的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．