Question

設a為實數，函數f(x)＝x³－x²－x＋a．

(1)求f(x)的極值；

(2)當a在什么范圍內取值時，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝3x2－2x－1． 　　若(x)＝0，則x＝－，1． 　　當x變化時，(x)、f(x)的變化情況如下表． 　　所以f(x)的極大值是f(－)＝＋a，極小值是f(1)＝a－1． 　　(2)函數f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1． 　　由此可知x取足夠大的正數時，有f(x)＞0，x取足夠小的負數時有f(x)＜0． 　　所以曲線y＝f(x)與x軸至少有一個交點． 　　結合f(x)的單調性可知． 　　當f(x)的極大值＋a＜0，即a∈(－∞，－)時，它的極大值也小于0，因此曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點，它在(1，＋∞)上； 　　當f(x)的極小值a－1＞0，即a∈(1，＋∞)時，它的極小值也大于0，因此曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點，它在(－∞，－13)上． 　　所以當a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)時，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點．