Question

已知函數f（x）=5x-5x²，記函數f₁（x）=f（x），f₂（x）=f[f₁（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，…，考察區間A=（-∞，0），對任意實數x∈A，有f₁（x）=f（x）=a＜0，f₂（x）=f[f₁（x）]=f（a）＜0，且n≥2時，f_n（x）＜0，問：是否還有其它區間，對于該區間的任意實數x，只要n≥2，都有f_n（x）＜0？

Answer 1

【答案】分析：由函數f₁（x）=f（x），f₂（x）=f[f₁（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n（x）=f[f_n-1（x）]…知若使f_n（x）＜0等價于f[f_n-1（x）]＜0，由f（x）＜0，得x＜0或x＞1，則有f_n-1（x）＜0或f_n-1（x）＞1，依此類推，要使一切n∈N₊，n≥2，都有f_n（x）＜0，必須有f₁（x）＜0或f₁（x）＞1即f（x）＜0或f（x）＞1的解集即為所求．
解答：解：f（x）＜0，即5x²-5x＞0，故x＜0或x＞1．
∴f_n（x）＜0?f[f_n-1（x）]＜0?f_n-1（x）＜0或f_n-1（x）＞1．
要使一切n∈N₊，n≥2，都有f_n（x）＜0，必須使f₁（x）＜0或f₁（x）＞1，
∴f（x）＜0或f（x）＞1，即5x-5x²＜0或5x-5x²＞1．
解得x＜0或x＞1或＜x＜，
∴還有區間（，）和（1，+∞）
使得對于這些區間內任意實數x，只要n≥2，都有f_n（x）＜0
點評：本題一道方案類型題，做題時要用即定的規律進行遞推，轉化，還涉及到不等式的法和恒成立問題．