Question

15．“求方程（$\frac{5}{13}$）^x+（$\frac{12}{13}$）^x=1的解”，有如下解題思路：設f（x）=（$\frac{5}{13}$）^x+（$\frac{12}{13}$）^x，則f（x）在R上單調遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2，類比上述解題思路，不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²的解集是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根據題意，把不等式變形為x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2），利用函數f（x）=x³+x的單調性把該不等式轉化為一元二次不等式，從而求出解集．

解答 解：不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²變形為，
x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）；
令u=x²，v=x+2，
則x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）?u³+u＞v³+v；
考察函數f（x）=x³+x，知f（x）在R上為增函數，
∴f（u）＞f（v），
∴u＞v；
不等式x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）可化為
x²＞x+2，解得x＜-1或x＞2；
∴不等式的解集為：（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評 本題考查了合情推理的應用問題，解題時應把復雜的高次不等式轉化為一元二次不等式，構造函數并利用函數的單調性進行轉化是關鍵，是中檔題．