Question

輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅硬的場地上滑行的運動．如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某輪滑運動員通過助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1 m的平臺上E處，飛行的軌跡是一段拋物線CDE(拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內)，D為這段拋物線的最高點．現在運動員的滑行輪跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標系，x軸在地面上，助跑道一端點A(0,4)，另一端點C(3,1)，點B(2,0)，單位：m.
(1)求助跑道所在的拋物線方程；
(2)若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點C處有相同的切線，為使運動員安全和空中姿態優美，要求運動員的飛行距離在4 m到6 m之間(包括4 m和6 m)，試求運動員飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍．
(注：飛行距離指點C與點E的水平距離，即這兩點橫坐標差的絕對值)

Answer 1

（1）f(x)＝x²－4x＋4，x∈[0,3]
（2）2 m到3 m之間

解：(1)設助跑道所在的拋物線方程為
f(x)＝a₀x²＋b₀x＋c₀，
依題意
解得 a₀＝1，b₀＝－4，c₀＝4，
所以助跑道所在的拋物線方程為f(x)＝x²－4x＋4，x∈[0,3]．
(2)設飛行軌跡所在拋物線為g(x)＝ax²＋bx＋c(a<0)，
依題意，
即，解得
所以g(x)＝ax²＋(2－6a)x＋9a－5
＝a²＋1－.
令g(x)＝1，得²＝.
因為a<0，所以x＝－＝3－.
當x＝時，g(x)有最大值，為 1－，
則運動員的飛行距離
d＝3－－3＝－，
飛行過程中距離平臺最大高度
h＝1－－1＝－，
依題意，4≤－≤6，即2≤－≤3，
即飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍為在2 m到3 m之間．