Question

已知集合P={x|

1

2

≤x≤2}，y=log₂（ax²-2x+2）的定義域為Q．
（1）若P∩Q≠∅，求實數a的取值范圍；
（2）若方程log2(ax2-2x+2)=2在[

1

2

，2]內有解，求實數a的取值的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）是一個存在性的問題，此類題求參數一般轉化為求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，
（2）也是一個存在性的問題，其與（1）不一樣的地方是其為一個等式，故應求出解析式對應函數的值域，讓該參數是該值域的一個元素即可保證存在性．

解答：解：（1）由已知Q={x|ax²-2x+2＞0}，若P∩Q≠∅，
則說明在[

1

2

，2]內至少有一個x值，使不等式ax²-2x+2＞0，即，
在[

1

2

，2]內至少有一個x值，使a＞

2

x

-

2

x2

成立，令u=

2

x

-

2

x2

，則只需a＞umin．又u=-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

，當x∈[

1

2

，2]時，

1

x

∈[

1

2

，2]，從而u∈[-4，

1

2

]
∴a的取值范圍是a＞-4；
（2）∵方程log2(ax2-2x+2)=2在[

1

2

，2]內有解，
∴ax2-2x+2=4即ax2-2x-2=0在[

1

2

，2]內有解，分離a與x，得a=

2

x

+

2

x2

=2(

1

x

+

1

2

)2-

1

2

，在[

1

2

，2]上有x的值，使上式恒成立
∵

3

2

≤2(

1

x

+

1

2

)2-

1

2

≤12∴

3

2

≤a≤12，即a的取值范圍是[

3

2

，12]．

點評：考查存在性問題求參數范圍，本題中兩個小題都是存在性，因為其轉化的最終形式不一樣，所以求其參數方式不一樣，一是其最值，一是求值域．答題者應細心體會其不同．此類題一般難度較大，要求有較強的邏輯推理能力進行正確的轉化．