Question

（理科）已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數n，點（a_n，S_n）都在直線2x-y-

1

2

=0上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若a_n²=2 -bn設C_n=

bn

an

求數列{C_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用條件確定數列是等比數列，然后利用等比數列的性質確定數列的通項公式．
（2）求出數列{C_n}的通項公式然后利用錯誤相減法求{C_n}前n項和T_n．

解答：解：因為點（a_n，S_n）都在直線2x-y-

1

2

=0，
所以2an-Sn-

1

2

=0，即2an=Sn+

1

2

，an＞0，
當n=1時，2a1=a1+

1

2

，即a1=

1

2

．
當n≥2時，2an=Sn+

1

2

=0，2an-1=Sn-1+

1

2

，
兩式相減得2a_n-2a_n-1=a_n，整理得：

an

an-1

=2，
所以數列{a_n}是

1

2

為首項，2為公比的等比數列．
所以an=

1

2

?2n-1=2n-2  …（5分）
（2）

a

2 n

=2-bn=22n-4，所以b_n=4-2n，Cn=

bn

an

=

4-2n

2n-2

=

16-8n

2n

，
所以Tn=

8

2

+

0

22

+…+

24-8n

2n-1

+

16-8n

2n

，①

1

2

Tn=

8

22

+…+

24-8n

2n

+

16-8n

2n+1

   ②
①-②得

1

2

Tn=4-8(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

16-8n

2n+1

=4-8

1 22 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

16-8n

2n+1

=4-4(1-

1

2n-1

)-

16-8n

2n+1

=

4n

2n

，
所以Tn=

8n

2n

…（14分）

點評：本題主要考查數列的通項公式以及利用錯位相減法求數列的前n項和．考查學生的運算能力．