Question

（理科）已知二次函數f（x）=x²-ax+a（a＞0，x∈R），不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，設數列{a_n}的前n項和S_n=f（n）（n∈N*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

an

3n

，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設各項均不為0的數列{c_n}中，所有滿足c_m•c_m+1＜0的正整數m的個數，稱為這個數列{c_n}的變號數，若cn=1-

a

an

(n∈N*)，求數列{c_n}的變號數．

Answer 1

分析：（1）先根據不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素再結合a＞0求出a=4，進而代入求出S_n=n²-4n+4；再根據前n項和與通項之間的關系即可求出數列{a_n}的通項公式；
（2）先求出數列{b_n}的通項，再結合錯位相減法求出數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）先根據條件求出數列{c_n}的通項，再通過做差求出數列{c_n}的增減性，最后結合變號數的定義即可得到結論．

解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一個元素∴△=a²-4a=0⇒a=0或a=4
又由a＞0得a=4，f（x）=x²-4x+4
∴S_n=n²-4n+4
當n=1時，a₁=S₁=1-4+4=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-5
∴an=

1 2n-5

（n=1）
（n≥2且n∈N）…（5分）
（2）∵T_n=

1

3

+

-1

32

+

1

33

+

3

34

+…+

2n-5

3n

①
∴

1

3

Tn=

1

32

+

-1

33

+

1

34

+

3

35

+…+

2n-7

3n

+

2n-5

3n+1

②
由①-②得

2

3

T=

1

3

-

2

32

+2(

1

33

+

1

34

+…+

1

3n

)-

2n-5

3n+1

∴T_n=

1

3

-

n-1

3n

…（10分）

（3）由題設c_n=

-3，(n=1) 1- 4 2n-5 ，(n≥2，n∈N)

∵n≥3時，c_n+1-c_n=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

＞0
∴n≥3時，數列{c_n}遞增
∵c₄=-

1

3

＜0，由1-

4

2n-5

＞0⇒n≥5可知an＞0(n≥5)且c4•c5=＜0
即n≥3時，有且只有一個變號數
又∵c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，即c₁•c₂＜0，c₂•c₃＜0．
∴此處變號數有2個．
綜上，得數列{c_n}共有3個變號數，即變號數為3．…（13分）

點評：本題主要考查已知數列的和求通項以及數列的錯位相減法求和．解決第三問的關鍵在于通過做差得到數列的單調性，并理解新定義．