Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，O為坐標原點，設M是拋物線上的動點，則

|MO|

|MF|

的最大值為（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  2 3

  3

• C、

  2 3

  5

• D、

  4 3

  5

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由拋物線方程為：y²=2px（p＞0），可得：焦點F（

p

2

，0），由拋物線的定義可得

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

，化簡再換元，利用基本不等式求得最大值．

解答： 解：由拋物線方程為：y²=2px（p＞0），可得：
焦點F（

p

2

，0），
設M（m，n），則n²=2pm，m＞0，設M 到準線x=-

p

2

的距離等于d，
則

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

=

m2+n2

m+ p 2

=

m2+2pm

m+ p 2

=

m2+2pm m2+pm+ p2 4

=

1+ pm- p2 4 m2+pm+ p2 4

．
令 pm-

p2

4

=t，t＞-

p2

4

，則 m=

t

p

+

p

4

，
∴

|MO|

|MF|

=

1+ t t2 p2 + 3 2 t+ 9 16 p2

=

1+ 1 t p2 + 3 2 + 9 16t p2

≤

1+ 1 3

=

2 3

3

（當且僅當 t=

3p2

4

 時，等號成立）．
故

|MO|

|MF|

的最大值為

2 3

3

，
故選：B

點評：本題考查拋物線的定義、基本不等式的應用，考查換元的思想，解題的關鍵是表達出

|MO|

|MF|

，再利用基本不等式，綜合性強．