Question

函數f（x）=x-alnx-2．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）a=1時，不等式f（x）+（b+1）f′（x）＜x-1對x＞1恒成立，求正整數b的取值集合．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，x∈（0，+∞），再討論a的取值范圍，從而求出其單調區間；
（Ⅱ）a=1時，原不等式?（x-lnx-2）+（b+1）•

x-1

x

＜x-1?b＜

1+xlnx

x-1

，構造函數g（x）=

1+xlnx

x-1

（x＞1），則g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

=

f(x)

(x-1)2

由第（1）問知，f（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上遞增，而f（3）=1-ln3＜0，f（4）=2-ln4=2（lne-ln2）＞0，可推出f（x）在（3，4）上有唯一零點x₀，f（x₀）=x₀-lnx₀-2⇒lnx₀=x₀-2，再由的范圍，求出b的值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，x∈（0，+∞），
當a≤0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞），
當a＞0時，令f′（x）=0，得x=0，
x∈（0，a）時，f（x）單調遞減，
x∈（a，+∞）時，f（x）單調遞增；
綜上：a≤0時，f（x）在（0，+∞）上遞增，無減區間，
當a＞0時，f（x）的單調遞減區間為（0，a），單調遞增區間為（a，+∞）；
（Ⅱ）a=1時，f（x）=x-lnx-2，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

．
x＞1時，原不等式?（x-lnx-2）+（b+1）•

x-1

x

＜x-1?（b+1）•

x-1

x

＜lnx+1，b+1＜（lnx+1）•

x

x-1

，
b＜

xlnx+x-x+1

x-1

?b＜

1+xlnx

x-1

，
設g（x）=

1+xlnx

x-1

（x＞1），則g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

=

f(x)

(x-1)2

由第（1）問知，f（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上遞增，而f（3）=1-ln3＜0，f（4）=2-ln4=2（lne-ln2）＞0
∴f（x）在（3，4）上有唯一零點x₀，f（x₀）=x₀-lnx₀-2⇒lnx₀=x₀-2
∴1＜x＜x₀時g′（x）＜0，x＞x₀時g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，x₀）上遞減、在（x₀，+∞）上遞增，
則x＞1時，g（x）_min=g（x₀）=

1+x0lnx0

x0-1

=

1+x0(x0-2)

x0-1

=x₀-1，
由b＜

1+xlnx

x-1

恒成立得b＜x₀-1，又3＜x₀＜4知2＜x₀-1＜3，
又b是正整數，則b的取值集合是{1，2}

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、導數在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．