Question

已知函數f（x）在R上為奇函數，當x≥0時，f（x）=x²+4x．
（1）求f（x）的解析式，并寫出f（x）的單調區間（不用證明）；
（2）若f（a²-2）+f（a）＜0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設 x＜0，則-x＞0這樣可以就可以利用x≥0時的解析式，再根據奇偶性就可求出f（x）的解析式，再寫出單調區間．
（2）要把不等式進行等價轉化，先移項，再根據奇函數轉化，再根據單調性去掉函數符號，然后解關于a的不等式就可求出范圍．

解答：解：（1）設 x＜0，則-x＞0
∴f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x
又∵f（x）在R上為奇函數
∴f（x）=-f（-x）=-（x²-4x）=-x²+4x
∴f（x）=

-x2+4x，x＜0 x2+4x，x≥0

  單調遞增區間是（-∞，+∞）
（2）原不等式等價于：f（a²-2）＜-f（a）
∵f（x）在R上為奇函數
∴上式等價于：f（a²-2）＜f（-a）   ①
又∵f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增
①等價于：a²-2＜-a，即a²+a-2＜0，解得：-2＜a＜1
故答案為：（-2，1）

點評：本題第1問主要考查利用函數奇偶性求對稱區間上的函數解析式，第2問主要用函數的奇偶性和單調性對原不等式進行等價轉化．