Question

【題目】已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx+1.

(1)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

(2)若l與C交于A,B兩點(diǎn),且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求線段AB的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）；（2）6

【解析】

（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用方程組與兩個(gè)交點(diǎn)，求出k的范圍．
（2）設(shè)交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求解即可．

(1)若雙曲線C與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,整理得(1-k2)x2-2kx-2=0,∴解得-<k<且k≠±1.故雙曲線C與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí),k的取值范圍是(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得x1+x2==2,即k2+k-=0,解得k=或k=-.

∵-<k<且k≠±1,

∴k=,∴x1x2==-4,∴|AB|=·=6.