Question

設函數（，）。

⑴若，求在上的最大值和最小值；

⑵若對任意，都有，求的取值范圍；

⑶若在上的最大值為，求的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）最大值為3，最小值為－1；（2）；（3），．

【解析】

試題分析：（1）是三次函數，要求它的最大值和最小值一般利用導數來求，具體的就是令，求出，再討論相應區間的單調性，就可判斷出函數什么時候取最大值，什么時候取最小值；（2）要求的取值范圍，題中沒有其他的信息，因此我們首先判斷出的初始范圍，由已知有，得出，而此時在上的單調性不確定，通過討論單調性，求出在上的最大值和最小值，為什么要求最大值和最小值呢？原因就在于題設條件等價于最大值與最小值的差，這樣就有求出的取值范圍了；（3）對在上的最大值為的處理方法，同樣我們用特殊值法，首先，即，由這兩式可得，而特殊值，又能得到，那么只能有，把代入和，就可求出．

試題解析：（1），∴，         2分

∴在內，，在內，，

∴在內，為增函數，在內，為減函數，

∴的最大值為，最小值為，         4分

（2）∵對任意有，∴，

從而有，∴．         6分

又，∴在，內為減函數，在內為增函數，只需，則，

∴的取值范圍是          10分[

（3）由知①②，

①加②得又∵∴∴       14分

將代入①②得∴               16分

考點：（1）函數的最值；（2）導數的應用；（3）含絕對值的函數的最大值與不等式的綜合知識．