Question

已知函數f(x)=

mx

x2+n

(m，n∈R)在x=1處取到極值2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設函數g(x)=lnx+

a

x

．若對任意的x₁∈R，總存在x₂∈[1，e]，使得g(x2)≤f(x1)+

7

2

，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數的求導公式計算函數的導數，根據函數在x=1處取到極值得出函數在x=1處的導數為0，再把x=2代入函數，聯立兩式求出m，n的值即可．
已知函數f(x)=

mx

x2+n

(m，n∈R)在x=1處取到極值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定義域為R，且f（-x）=-f（x）．故f（x）為奇函數．f（0）=0，x＞0時，f（x）＞0，f（x）=

4

x+ 1 x

≤2．當且僅當x=1時取“=”．
故f（x）的值域為[-2，2]．從而f(x1)+

7

2

≥

3

2

．依題意有g(x)最小值≤

3

2

（7分）

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

m(x2+n)-2mx

(x+n)2

=

mx2-2mx+mn

(x2+n)2

（2分）
根據題意，f（x）=

mx

x2+n

，
f′（x）=-

mx2-mn

(x2+n)2

；
由f（x）在x=1處取到極值2，故f′（1）=0，f（1）=2即

mn-m (1+n)2 =0 m 1+n =2

，
解得m=4，n=1，經檢驗，此時f（x）在x=1處取得極值．故f(x)=

4x

x2+1

（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定義域為R，且f（-x）=-f（x）．故f（x）為奇函數．f（0）=0，x＞0時，f（x）＞0，f（x）=

4

x+ 1 x

≤2．當且僅當x=1時取“=”．
故f（x）的值域為[-2，2]．從而f(x1)+

7

2

≥

3

2

．依題意有g(x)最小值≤

3

2

（7分）
函數g(x)=lnx+

a

x

的定義域為（0，+∞），g′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（8分）
①當a≤1時，g′（x）＞0函數g（x）在[1，e]上單調遞增，其最小值為g(1)=a≤1＜

3

2

合題意；
②當1＜a＜e時，函數g（x）在[1，a）上有g′（x）＜0，單調遞減，在（a，e]上有g′（x）＞0，單調遞增，所以函數g（x）最小值為f（a）=lna+1，由lna+1≤

3

2

，得0＜a≤

e

．從而知1＜a≤

e

符合題意．
③當a≥e時，顯然函數g（x）在[1，e]上單調遞減，其最小值為g(e)=1+

a

e

≥2＞

3

2

，不合題意（11分）綜上所述，a的取值范圍為a≤

e

（12分）

點評：該題考查函數的求導，以及函數極值的應用，考查一個函數小于零一個函數時，小于它的最小值．要會利用函數的導數判斷函數的單調性．