Question

【題目】已知函數.

（1）若是的極大值點，求的值；

（2）若在上只有一個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)首先對函數進行求導，然后通過極大值點所對應的導函數值為0即可求出的值，最后通過檢驗即可得出結果；

(2)首先可以設方程并寫出方程的導函數，然后將在上只有一個零點轉化為在上只有一個零點，再利用方程的導函數求出方程的最小值，最后對方程的最小值與0之間的關系進行分類討論即可得出結果。

(1)，

因為是的極大值點，所以，解得，

當時，，，

令，解得，

當時，，在上單調遞減，又，

所以當時，；當時，，

故是的極大值點；

(2)令，，

在上只有一個零點即在上只有一個零點,

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以.

（Ⅰ）當，即時，時，在上只有一個零點，即在上只有一個零點.

（Ⅱ）當，即時，取，，

①若，即時，在和上各有一個零點，即在上有2個零點，不符合題意；

②當即時，只有在上有一個零點，即在上只有一個零點，

綜上得，當時，在上只有一個零點。