Question

【題目】已知橢圓經過點，點是橢圓上在第一象限的點，直線 交軸于點，直線交軸于點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程和離心率；

（Ⅱ）是否存在點，使得直線 與直線平行？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ， ；(2)存在， .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓經過點，可得，從而可得，；進而可得橢圓的標準方程和離心率；（Ⅱ）假設存在點，使得直線與直線平行.

設，設出直線、直線的方程，求出、的坐標，根據，可得結果.

試題解析：（Ⅰ）依題意設所求橢圓方程為.

因為橢圓經過點，

所以.

所以

所求橢圓的標準方程為，離心率.

（Ⅱ）存在點，使得直線與直線平行.

設.

則，即.

因為

所以

令則.

所以.

因為，

所以.

令則.

所以.

所以.

若直線與直線平行，那么.

因為，

所以.

即 .

所以.

所以.

即.

因為,

所以.

所以》

所以.

所以

所以.