Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，下列命題：
①

AB

•

BC

＞0，則△ABC為鈍角三角形．
②若b=

2

csinB，則C=45°．
③若a²=b²+c²-bc，則A=60°．
④若已知E為△ABC的邊BC的中點，△ABC所在平面內有一點P，滿足

PA

+

PB

+

PC

=0，設

| AP |

| PE |

=λ，則λ=2，其中正確命題的個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：利用向量的數量積公式及向量夾角與三角形內角的關系，判斷出①的對錯；
利用正弦定理判斷出②的對錯；
利用余弦定理判斷出③的對錯；
利用三角形重心滿足的向量關系及重心的度量關系判斷出④的對錯．

解答：解：對于①，∵

AB

•

BC

＞0所以兩個向量的夾角為銳角，又兩個向量的夾角為三角形的內角B的補角，所以B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，故①對
對于②，由正弦定理得sinB=

2

sinCsinB，所以sinC=

2

2

，所以C=45°或135°，故②錯
對于③，由三角形中的余弦定理，得b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc即cosA=

1

2

則A=60°，故③對
對于④，∵

PA

+

PB

+

PC

=0∴P為三角形的重心，所以

| AP |

| PE |

=2，∴λ=2，故④對．
故選C

點評：在三角形中，當條件中出現邊的平方關系或角的余弦形式時常利用余弦定理解決；當條件中出現正弦形式時常考慮正弦定理解決；三角形的重心滿足的向量關系：以重心為始點，三角形的三頂點為終點對應的三向量和為零向量．