Question

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位,已知直線 的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)， ），曲線C的極坐標方程為．

（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程。

（Ⅱ）設直線 與曲線C相交于A，B兩點，當a變化時，求 的最小值

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）4

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將兩邊乘以得，，將代入上式得曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）將將直線的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程中，整理關(guān)于t的二次方程，設M，N兩點對應的參數(shù)分別為，利用一元二次方程根與系數(shù)將，用表示出來，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義得，|AB|=，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于與的函數(shù)，利用前面，關(guān)于的表示式，將上述函數(shù)化為關(guān)于的函數(shù)，利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值．

試題解析：（Ⅰ）由,得

所以曲線C的直角坐標方程為 （4分）

（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入,得

設A、B兩點對應的參數(shù)分別為t1、t2,則

t1+t2=,t1t2=,

∴|AB|=|t1-t2|==,

當時,|AB|的最小值為4 （10分）

考點： 極坐標方程與直角坐標互化，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，設而不求思想