Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的一條漸近線方程為y=

3

x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M(-

5

，

3

)在雙曲線上．
（1）求雙曲線方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，以弦PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．證明：

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為定值，并求|OP|²+|OQ|²的最小值．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的一條漸近線方程為y=

3

x，設(shè)雙曲線方程為（y+

3

x）（y-

3

x）=λ，λ≠0，由點(diǎn)M(-

5

，

3

)在雙曲線上，能求出雙曲線方程．
（2）由直線l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，以弦PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，知OP⊥OQ，設(shè)直線OP的方程為y=kx，（k≠0），代入

x2

4

-

y2

12

=1中，得

x2= 12 3-k2 y2= 12k2 3-k2

，由此能夠證明

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為定值，并能求出|OP|²+|OQ|²的最小值．

解答：解：（1）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的一條漸近線方程為y=

3

x，
∴設(shè)雙曲線方程為（y+

3

x）（y-

3

x）=λ，λ≠0
即y²-3x²=λ，
∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M(-

5

，

3

)在雙曲線上，
∴（

3

）²-3（-

5

）²=λ，解得λ=-12，
∴雙曲線方程為y²-3x²=-12，即

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）∵直線l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，以弦PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，
∴OP⊥OQ，
設(shè)直線OP的方程為y=kx，（k≠0）
代入

x2

4

-

y2

12

=1中，得

x2= 12 3-k2 y2= 12k2 3-k2

，
∴|OP|²=x²+y²=

12(k2+1)

3-k2

，
同理，得|OQ|²=

12(1+ 1 k2 )

3- 1 k2

=

12(k2+1)

3k2-1

•

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

2+2k2

12(k2+1)

=

1

6

，
設(shè)|OP|²+|OQ|²=t，則t（

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

）=2+

|OP|2

|OQ|2

+

|OQ|2

|OP|2

≥2+2=4，
∴t≥

4

1 6

=24，即（|OP|²+|OQ|²）_min=24，
當(dāng)且僅當(dāng)|OP|=|OQ|=2

3

時(shí)，取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程的求法，考查定值的證明和最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．