Question

【題目】已知函數的圖像與直線相切.

（Ⅰ）求的值，并求的單調區間；

（Ⅱ）若，設，討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，函數的單調減區間為，增區間為； (Ⅱ)答案見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意結合導函數與原函數切線的關系得到關于實數m的方程，解方程可得m=1，則函數的單調減區間為，增區間為；

(Ⅱ)原問題轉化為函數的圖象的交點個數，分類討論可得：

當時，函數無零點；

當或時，函數恰有一個零點；

當時，函數恰有兩個零點.

試題解析：

(I)設的圖像與直線相切于點，

，

則即

解得：

由得；得；

所以函數的單調減區間為；增區間為

(II)

；

記函數

由得；得

在上單調遞增；在上單調遞減

又時，；

時，；且.

則：當時， 與的圖像無交點，函數無零點；

當或時， 與的圖像恰有一個交點，函數恰有一個零點；

當時， 與的圖像恰有兩個交點，函數恰有兩個零點.