Question

已知冪函數y=f（x）的圖象過點（2，

2

2

），
（1）求函數y=f（x）的解析式，并用描點法畫出函數f（x）的圖象
（2）用定義證明函數的單調性．

Answer 1

分析：（1）根據冪函數的特點，設所求的冪函數解析式是y=x^α．再將點（2，

2

2

），的坐標值代入解析式，求得α的值．即可求得冪函數的具體解析式，再列表描點畫圖，首先列表，再根據表中的x、y對應坐標值，描點，畫出函數的圖象．
（2）先求出函數的定義域再作出判斷，然后再用定義法證明，可任取0＜x₁＜x₂，用定義證明．

解答：解：（1）由于冪函數y=f（x）的圖象過點（2，

2

2

），
設所求的冪函數解析式是y=x^α．由于所求圖象過點（2，

2

2

），
可得2α=

2

2

．
解得α=-

1

2

，所以函數y=f（x）的解析式f（x）=

1

x

，（x＞0）．
列表：

x	…	1 16	1 4	1	4	9	…
y	…	4	2	1	1 2	1 3	…

（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），函數在定義域上是減函數，證明如下：
任取0＜x₁＜x₂，則
f(x1)-f(x2)=

1

x1?

-

1

x2?

=

x2? - x1?

x1? × x2?

=

x2-x1

( x2? + x1? ) x1? × x2?

∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，

x1

＞0，

x2

＞0，

x1

+

x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞），上是單調減函數．

點評：本題考查冪函數的性質、函數單調性的判斷與證明，本注意作題的格式先判斷后證明，用定義法證明時要注意證明的格式．