Question

（2013•唐山一模）已知橢圓C₁：

x2

4

+y2=1和動圓C2：x2+y2=r2(r＞0)，直線l：y=kx+m與C₁和C₂分別有唯一的公共點A和B．
（I）求r的取值范圍；
（II ）求|AB|的最大值，并求此時圓C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）聯立直線方程與橢圓方程，聯立直線方程和圓的方程，由直線和橢圓及直線和圓都有唯一公共點，利用判別式等于0得到k與r的關系k²=

r2-1

4-r2

，由k²≥0求解r的取值范圍；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的方程求出A，B兩點的橫坐標，寫出AB兩點間的距離，利用k，m，r之間的關系把兩點間的距離轉化為含有r的函數式，利用基本不等式求|AB|的最大值，并求出此時圓 C₂的方程．

解答：解：（Ⅰ）由

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
由于l與C₁有唯一的公共點A，故△₁=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=0，
從而m²=1+4k² ①
由

x2+y2=r2 y=kx+m

，得（1+k²）x²+2kmx+m²-r²=0．
由于l與C₂有唯一的公共點B，故△₂=4k²m²-4（1+k²）（m²-r²）=0，
從而m²=r²（1+k²） ②
由①、②得k²=

r2-1

4-r2

．
由k²≥0，得1≤r²＜4，所以r的取值范圍是[1，2）．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（Ⅰ）的解答可知
x₁=-

4km

1+4k2

=-

4k

m

，x₂=-

km

1+k2

=-

kr2

m

．
|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=（1+k²）•

k2(4-r2)2

m2

=

1+k2

m2

•k²•（4-r²）²
=

1

r2

•

r2-1

4-r2

•（4-r²）²=

(r2-1)(4-r2)

r2

，
所以|AB|²=5-（r²+

4

r2

）（1≤r＜2）．
因為r²+

4

r2

≥2×2=4，當且僅當r=

2

時取等號，
所以當r=

2

時，|AB|取最大值1，此時C₂的方程為x²+y²=2．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了數學轉化思想方法及整體帶代換能力，訓練了學生的計算能力，考查了利用基本不等式求最值，屬難題．