Question

正數數列{a_n}的前n項和為S_n，且4S_n=(an+1)2
①試求數列{a_n}的通項公式．
②設bn=

1

an•an+1

，{b_n}前n項和S_n，求證：Sn＜

1

2

．

Answer 1

分析：①依題意，可求得a₁=1；當n≥2時，易求a_n-a_n-1=2，從而知數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，繼而可求其通項；
②利用裂項法可求得b_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），從而可求其前n項和．

解答：解：①∵4S_n=(an+1)2，（1）
∴4a₁=(a1+1)2，即得a₁=1；
當n≥2時，4S_n-1=(an-1+1)2，（2）
（1）-（2）得：4a_n=an2+2a_n-an-12-2a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1），又a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
②證明：∵b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

＜

1

2

（證畢）．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差數列的判定與其通項公式的應用，考查裂項法求和，屬于中檔題．