Question

【題目】已知為坐標原點，橢圓：上頂點為，右頂點為，離心率，圓：與直線相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，，為橢圓上的三個動點，直線，，的斜率分別為.

（i）若的中點為，求直線的方程；

（ii）若，證明：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析.

【解析】

（1）由離心率和直線AB與圓相切分別得到a，b的關系式，求解得橢圓的方程；

（2）（i）由點差法求出直線EF的斜率，然后寫出方程；

（ⅱ）由直線DE、DF與橢圓的相交關系，分別求出E、F兩點的橫坐標，再利用，求得，另設直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達定理表示，求得，故得結論直線EF過定點．

解：（1）由題意，直線的方程為：，即為，

因為圓與直線相切，所以，①

設橢圓的半焦距為，因為，，

所以②

由①②得：，，所以橢圓的標準方程為：.

（2）設，，，

（i）由題知：，，

兩式做差得：，，

整理得：，

所以此時直線的方程為：；

（ii）設直線：，設直線：，

將代入，

得：，

所以，，

因此.

又因為，且同理可得：，

可得，

設直線的方程為：，將代入，

得：，

得，所以，

所以直線過定點.