Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項的平均數(shù)的倒數(shù)為

1

2n+1

，
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)cn=

an

2n+1

，試判斷并說明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符號；
（3）設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

，是否存在最大的實數(shù)λ，當x≤λ時，對于一切自然數(shù)n，都有f（x）≤0．

Answer 1

（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項的平均數(shù)的倒數(shù)為

1

2n+1

，
∴a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1）
兩式相減得a_n=4n-1（n≥2），
∵a₁=3，
∴a_n=4n-1（n∈N）
（2）∵cn=

an

2n+1

=

4n-1

2n+1

=2-

3

2n+1

，cn+1=2-

3

2n+3

，
∴cn+1-cn=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，即cn+1＞cn．
（3）由（2）知c₁=1是數(shù)列{c_n}中的最小項，
∵x≤λ時，對于一切自然數(shù)n，都有f(x)≤0，即-x2+4x≤

an

2n+1

=cn，
∴-x²+4x≤c₁=1，即x²-4x+1≥0，
∴x≥2+

3

或x≤2-

3

， ∴取λ=2-

3

．