Question

給定下列命題
①半徑為2，圓心角的弧度數為

1

2

的扇形的面積為

1

2

；
②若a、β為銳角，tan（α+β）=

1

3

，tanβ=

1

2

，則α+2β=

π

4

；
③若A、B是△ABC的兩個內角，且sinA＜sinB，則BC＜AC；
④若a、b、c分別是△ABC的三個內角A、B、C所對邊的長，且a²+b²-c²＜0，則△ABC一定是鈍角三角形．
其中正確命題的個數有（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①計算扇形面積，②計算tan（α+2β）的值，考慮α，β的范圍，③△ABC中，sinA＜sinB，得A＜B，得BC＜AC，④△ABC中，a²+b²-c²＜0，得cosC＜0，得C是鈍角．

解答：解：①半徑為2，圓心角的弧度數為

1

2

的扇形的面積為：S=

1

2

R²α=

1

2

×2²×

1

2

=1，∴①錯誤；
②若a、β為銳角，tan（α+β）=

1

3

，tanβ=

1

2

，則tan（α+2β）=

tan(α+β)+tanβ

1-tan(α+β)tanβ

=

1 3 + 1 2

1- 1 3 × 1 2

=1，
∵0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，且tan（α+β）=

1

3

，∴0＜α+β＜

π

2

，∴0＜α+2β＜π，∴α+2β=

π

4

，∴②正確；
③若A、B是△ABC的兩個內角，且sinA＜sinB，則A＜B，由大角對大邊知BC＜AC，∴③正確；
④若a、b、c分別是△ABC的三個內角A、B、C所對邊的長，且a²+b²-c²＜0，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，又0＜C＜π，∴C是鈍角，即△ABC是鈍角三角形，∴④正確．

點評：本題考查了扇形面積公式，兩角和的正切公式，三角形中正弦、余弦定理的綜合應用，是容易出錯的基礎題．