Question

【題目】已知函數（為常數， 是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸平行．

（1）求的值；

（2）求的單調區間；

（3）設，其中為的導函數．證明：對任意， ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調遞增區間為；單調遞減區間為；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）求導可得 ；（2）由（1）知， ．設,再利用導數工具進行求解；（3）由（2）可知，當時， ，故只需證明在時成立,再利用導數工具進行證明．

試題解析：（1），由已知， ， ．

（2）由（1）知， ．

設，則，即在上是減函數，

由知，當時，從而，

當時，從而，

綜上可知， 的單調遞增區間是，單調遞減區間是．

（3）由（2）可知，當時， ，

故只需證明在時成立．

當時， ，且， ．

設， ，則，

當時， ，當時， ，

所以當時， 取得最大值．

所以．

綜上，對任意， ．