Question

【題目】已知函數f（x）=loga （a＞0，a≠1）．
（1）當a＞1時，討論f（x）的奇偶性，并證明函數f（x）在（1，+∞）上為單調遞減；
（2）當x∈（n，a﹣2）時，是否存在實數a和n，使得函數f（x）的值域為（1，+∞），若存在，求出實數a與n的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為{x|x＜﹣1或x＞1}，關于原點對稱，

又f（﹣x）= ，∴f（x）為奇函數，

證明：當a＞1時，設1＜x1＜x2，則

f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵ = ，

∴ ＞1，又a＞1，∴loga ＞0，則f（x1）＞f（x2），

∴函數f（x）在（1，+∞）上為減函數

（2）解：令 = ，x∈（n，a﹣2），

①當a＞1時，要使f（x）的值域為（1，+∞），則須t∈（a，+∞），

令 ，解得 ．∴x∈（1， ）．

故有 ，解得 ；

②當0＜a＜1時，t∈（0，a），則x∈（ ），∴ ，（不合題意）．

綜上所述，存在實數n=1，a= ，當x∈（n，a﹣2）時，函數f（x）的值域為（1，+∞）

【解析】（1）直接利用函數單調性與奇偶性的定義判斷；（2）令 = ，x∈（n，a﹣2），當a＞1時，要使f（x）的值域為（1，+∞），則須t∈（a，+∞），令 ，解得 ．可得x∈（1， ）．則 ，解得 ；當0＜a＜1時，t∈（0，a），則x∈（ ），得 ，（不合題意）．由此可得存在實數n=1，a= ，當x∈（n，a﹣2）時，函數f（x）的值域為（1，+∞）．
【考點精析】掌握奇偶性與單調性的綜合是解答本題的根本，需要知道奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．