如圖，在平面直角坐標系
中，已知
，
，
，直線
與線段
、
分別交于點
、
.
（1）當
時，求以
為焦點，且過
中點的橢圓的標準方程；
（2）過點作直線
交
于點
，記
的外接圓為圓
.
①求證:圓心在定直線
上；
②圓是否恒過異于點
的一個定點?若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由.
(1)
(2)①略②
.
解析試題分析：(1)根據題意，
，
，求出
，可得到方程；(2)①解法一：根據題意寫出
的坐標，線段
的中垂線的交點就是圓心，將圓心坐標代入中，可得證；解法二：設出一般方程，將三點的坐標代入，聯立求解；②根據①，寫出圓系方程
，聯立方程
解得該定點.
試題解析：(1)設橢圓的方程為
,
當時, 的中點為
，則 1分
而
,所以
， 2分
故橢圓的標準方程為 3分
(Ⅱ)①解法一:易得直線
，直線
可得
,再由,得
5分
則線段
的中垂線方程為
, 6分
線段
的中垂線方程為
, 7分
由
, 8分
解得的外接圓的圓心坐標為
9分
經驗證,該圓心在定直線上 10分
②由①可得圓C的方程為
11分
該方程可整理為
,
則由,解得
或
, 13分
所以圓恒過異于點的一個定點,該點坐標為 14分
解法二: 易得直線，直線 5分
所以可得, 6分
再由<
初中學業考試導與練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的中心在原點，焦點F在
軸上，離心率
，點
在橢圓C上.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若斜率為
的直線
交橢圓與
、
兩點，且
、、
成等差數列，點M（1,1），求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在
軸上，且過點
.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）與圓
相切的直線
交拋物線于不同的兩點
若拋物線上一點
滿足
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C長軸的兩個頂點為A（－2，0），B（2，0），且其離心率為
.
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若N是直線x=2上不同于點B的任意一點，直線AN與橢圓C交于點Q，設直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點為M（異于點B），求證：直線NM經過定點．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
拋物線
與直線
相切，
是拋物線上兩個動點，
為拋物線的焦點，
的垂直平分線
與
軸交于點
，且
.
（1）求
的值;
（2）求點的坐標;
（3）求直線的斜率
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線
的參數方程為
(t為參數，0<a<
)，曲線C的極坐標方程為
．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于A、B兩點，當a變化時，求|AB|的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動圓C經過點
，且在x軸上截得弦長為2，記該圓圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點
的直線m交曲線E于A，B兩點，過A，B兩點分別作曲線E的切線，兩切線交于點C，當△ABC的面積為
時，求直線m的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
是橢圓
的右焦點，圓
與
軸交于
兩點，
是橢圓
與圓
的一個交點，且
.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）過點與圓相切的直線
與的另一交點為
，且
的面積等于
，求橢圓的方程.
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：
的長軸長為4，且過點
．
、
、
是橢圓上的三點，若
，點
為線段
的中點，
、
兩點的坐標分別為
、
，求證：
．