Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=

2

，AB=1，AD=m，E為BC中點，且∠AEA₁恰為二面角A₁-ED-A的平面角．
（1）求證：平面A₁DE⊥平面A₁AE；
（2）求異面直線A₁E、CD所成的角；
（3）設△A₁DE的重心為G，問是否存在實數λ，使得

AM

=λ

AD

，且
MG⊥平面A₁ED同時成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據二面角的平面角的定義，可得二面角的棱垂直于平面角所在的平面，得線面垂直，再由線面垂直⇒面面垂直．
（2）建立空間直角坐標系，給出相關點與向量的坐標，根據AE⊥DE，求出m的值，再求向量夾角的余弦值．
（3）根據

AM

=λ

AD

，寫出M的坐標，求出

MG

的坐標，根據條件MG⊥DE，MG⊥EA₁確定是否存在λ．

解答：解：（1）證明：∵∠AEA₁為二面角A₁-ED-A的平面角
∴A₁E⊥ED，AE⊥ED，A₁E∩AE=E，∴ED⊥平面A₁AE，DE?平面A₁DE，
∴平面A₁DE⊥平面A₁AE．
（2）如圖建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），A₁（0，0，

2

），B（1，0，0），D（0，m，0），E（1，

m

2

，0）．

A1E

=（1，

m

2

，-

2

），ED=（-1，

m

2

，0），AE=（1，

m

2

，0），
∵AE⊥ED，

AE

•

ED

=0，即-1+

m2

4

=0⇒m=2，則C（1，2，0），

CD

=（-1，0，0）

EA1

=(-1，-1，

2

)，cos＜

EA1

，

CD

＞=

EA1 • CD

| EA1 || CD |

=

1

1+1+2 × 1

=

1

2

，
∴異面直線A₁E、CD所成的角為60°．
（3）依題意得：G（

1

3

，1，

2

3

），

AM

=λ

AD

，∴M（0，2λ，0）．

MG

=（

1

3

，1-2λ，

2

3

），
假設存在λ滿足題設條件，則

MG

•EA1=0，且

MG

•

ED

=0，
即

-1• 1 3 +(-1)•(1-2λ)+ 2 • 2 3 =0 -1• 1 3 +1•(1-2λ)+0• 2 3 =0

，
解得λ=

1

3

，
故存在實數λ=

1

3

，使得

AM

=λ

AD

，且MG⊥平面A₁ED同時成立．

點評：本題考查了利用向量坐標運算求異面直線所成的角，考查用向量法解決立體幾何中的存在性問題，考查了學生的運算能力及邏輯推理能力，本題對向量的工具作用體現較好．