Question

經過A（2，0），以（2cosθ-2，sinθ）為方向向量的直線與經過B（-2，0），以（2+2cosθ，sinθ）為方向向量的直線相交于點M（x，y），其中θ≠kπ．
（I）求點M（x，y）的軌跡方程；
（II）設（I）中軌跡為曲線C，，若曲線C內存在動點P，使得|PF₁|、|OP|、|PF₂|成等比數列（O為坐標原點），求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據題意知，∥（2cosθ-2，sinθ），根據共線向量定理可得⇒（x-2）sinθ=y（2cosθ-2），同理（x+2）sinθ=y（2cosθ+2），兩式相乘，即可得到點M（x，y）的軌跡方程；
（II）設p（x，y）在曲線C內，得，再由|PF₁|、|OP|、|PF₂|成等比數列可得
并代入求得，即可求得結果．
解答：解：（I），（2-x）sinθ+y（2cosθ-2）=0⇒（x-2）sinθ=y（2cosθ-2）①
同理（-2-x）sinθ+y（2cosθ+2）=0⇒（x+2）sinθ=y（2cosθ+2）②
①×②得x²-4=-4y²
即；
（II）設p（x，y），則③

化簡得：④
④代入③得


點評：此題是個中檔題．考查向量在幾何中的應用，以及數列與解析幾何的綜合．同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．