Question

經過A（2，0），以（2cosθ-2，sinθ）為方向向量的直線與經過B（-2，0），以（2+2cosθ，sinθ）為方向向量的直線相交于點M（x，y），其中θ≠kπ．
（I）求點M（x，y）的軌跡方程；
（II）設（I）中軌跡為曲線C，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，若曲線C內存在動點P，使得|PF₁|、|OP|、|PF₂|成等比數列（O為坐標原點），求

PF1

•

PF2

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據題意知，

MA

=(2-x，0-y)∥（2cosθ-2，sinθ），根據共線向量定理可得?（x-2）sinθ=y（2cosθ-2），同理（x+2）sinθ=y（2cosθ+2），兩式相乘，即可得到點M（x，y）的軌跡方程；
（II）設p（x₀，y₀）在曲線C內，得

x 0 2

4

+

y

0 2

＜1，再由|PF₁|、|OP|、|PF₂|成等比數列可得|OP|2=|PF1|•|PF2|?

x

0 2

+

y

0 2

=

(x0+ 3 )2+ y 0 2

•

(x0- 3 )2+ y 0 2

并代入求得

PF1

•

PF2

，即可求得結果．

解答：解：（I）

MA

=(2-x，0-y)，（2-x）sinθ+y（2cosθ-2）=0?（x-2）sinθ=y（2cosθ-2）①
同理（-2-x）sinθ+y（2cosθ+2）=0?（x+2）sinθ=y（2cosθ+2）②
①×②得x²-4=-4y²
即

x2

4

+y2=1；
（II）設p（x₀，y₀），則

x 2 0

4

+

y

2 0

＜1③
|OP|2=|PF1|•|PF2|?

x

2 0

+

y

2 0

=

(x0+ 3 )2+ y 2 0

•

(x0- 3 )2+ y 2 0

化簡得：

x

2 0

-

y

2 0

=

3

2

④
④代入③得0≤

y

2 0

＜

1

2

PF

1•

PF

 2=(-

3

-x0，-y0)•(

3

-x0，-y0)=

x

2 0

+

y

2 0

-3=2

y

2 0

-

3

2

0≤

y

2 0

＜

1

2

?-

3

2

≤2

y

2 0

-

3

2

＜-

1

2

點評：此題是個中檔題．考查向量在幾何中的應用，以及數列與解析幾何的綜合．同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．