Question

已知函數f（x）=（x²+bx+c）e^x在點P（0，f（0））處的切線方程為2x+y-1=0．
（1）求b，c的值；
（2）若方程f（x）=m恰有兩個不等的實根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

f′(0)=-2 f(0)=1

，代入可求b，c
（2）由（1）知f（x）=（x²-3x+1）•e^x，通過導數可求函數的極值，方程f（x）=m恰有兩個不等的實根．?y=f（x）與y=m有2個交點，結合函數性質可求

解答：解：（1）f′（x）=[x²+（b+2）x+b+c]•e^x，
∵f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為2x+y-1=0．
∴

f′(0)=-2 f(0)=1

∴

b+c=-2 c=1

即

b=-3 c=1

（2）由（1）知
f（x）=（x²-3x+1）•e^x，
f′（x）=（x²-x-2）•e^x
=（x-2）（x+1）•e^x．

由上可知f（x）_極大值=f（-1）=

5

e

，
f（x）_極小值=f（2）=-e²，
但當x→+∞時，f（x）→+∞；
又當x＜0時，f（x）＞0．
則當且僅當m∈（-e²，0]∪{

5

e

}時，方程f（x）=m恰有兩個不等的實根．

點評：本題主要考查了導數的幾何意義的應用，兩直線平行的斜率關系的應用及利用導數求解函數的極值，還要注意函數思想在求m的范圍中的應用．