Question

【題目】設函數f（x）的定義域為D，如果x∈D，y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立，則稱函數f（x）為“Ω函數”．給出下列四個函數：
①y=sinx；
②y=2x；
③y= ；
④f（x）=lnx，
則其中“Ω函數”共有（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：若x∈D，y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立，
即等價為x∈D，y∈D，使得f（x）+f（y）=0成立．
A．函數的定義域為R，∵y=sinx是奇函數，
∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）+f（﹣x）=0，∴當y=﹣x時，等式（x）+f（y）=0成立，∴A為“Ω函數”．
B．∵f（x）=2x＞0，∴2x+2y＞0，則等式（x）+f（y）=0不成立，∴B不是“Ω函數”．
C．函數的定義域為{x|x≠1}，由（x）+f（y）=0得 ，即 ，
∴x+y﹣2=0，即y=2﹣x，當x≠1時，y≠1，∴當y=2﹣x時，等式（x）+f（y）=0成立，∴C為“Ω函數”．
D．函數的定義域為（0，+∞），由（x）+f（y）=0得lnx+lny=ln（xy）=0，即xy=1，即當y= 時，等式（x）+f（y）=0成立，∴D為“Ω函數”．
綜上滿足條件的函數是A，C，D，共3個，
故選：C
【考點精析】利用函數的值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法．