Question

已知橢圓C：

x2

3

+

y2

2

=1與直線l：mx-y-m=0
（1）求證：對于m∈R，直線l與橢圓C總有兩個不同的交點；
（2）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，若|AB|=

16

11

3

，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析：（1）分m=0和m≠0兩種情況分別判斷直線和橢圓C的位置關系即可．m≠0時，聯立直線方程與橢圓方程根據判別式和0的關系即可得到結論．
（2）聯立直線方程與橢圓方程，再結合韋達定理以及弦長公式即可解決問題．

解答：解：（1）證明：1、當m=0，直線方程y=1，與圓有兩個交點，符合題意
2、當m≠0，將橢圓C：

x2

3

+

y2

2

=1與直線l：mx-y-m=0聯立得
（3m²+2）x²-6m²x+3m²-6=0
△=（6m²）²-4（3m²+2）×（3m²-6）=48m²+48＞0，符合題意
∴對于m∈R，直線l與橢圓C總有兩個不同的交點
（2）設A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

6m2

3m2+2

x₁•x₂=

3m2-6

3m2+2

|AB|=

1+k2

|x1-x2|
=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

1+m2

•

36m4 (3m2+2)2 - 12m2-24 3m2+2

=

16 3

11

解得m=±

3

∴l的傾斜角為

π

3

或

2π

3

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓有關數值之間的關系，以及橢圓與直線的位置關系并且結合韋達定理解決問題．