Question

5．在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+$\frac{1}{2}$，當△ABC的周長最短時，BC的長是$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1．

Answer 1

分析 設A，B，C所對的邊a，b，c，則根據余弦定理可得a²+b²+c²=2abcosC，以及b=c+$\frac{1}{2}$可得c的長，再利用均值不等式即可求出答案．

解答 解：設A，B，C所對的邊a，b，c，則根據余弦定理可得a²+b²-c²=2abcosC，
將b=c+$\frac{1}{2}$代入上式，可得a²+c+$\frac{1}{4}$=ac+$\frac{a}{2}$，化簡可得c=$\frac{4{a}^{2}-2a+1}{4（a-1）}$，
所以△ABC的周長l=a+b+c=$\frac{4{a}^{2}-2a+1}{4（a-1）}$+$\frac{1}{2}$+a，
化簡可得l=3（a-1）+$\frac{3}{2（a-1）}$+$\frac{9}{2}$，
因為a＞1，
所以由均值不等式可得3（a-1）=$\frac{3}{2（a-1）}$時，
即6（a-1）²=3，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1時，△ABC的周長最短，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1．

點評 本題考查了余弦定理和均值不等式的應用，屬于中檔題．