Question

正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=

1

2

CD=2，點M在線段EC上且不與E，C重合．
（Ⅰ）當(dāng)點M是EC中點時，求證：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）當(dāng)平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為

6

6

時，求三棱錐M-BDE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）三角形的中位線定理可得MN∥DC，MN=

1

2

DC．再利用已知可得MN

∥

.

BA，即可證明四邊形ABMN是平行四邊形．再利用線面平行的判定定理即可證明．
（II）取CD的中點O，過點O作OP⊥DM，連接BP．可得四邊形ABOD是平行四邊形，由于AD⊥DC，可得四邊形ABOD是矩形．由于BO⊥CD，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，可得ED⊥平面ADCB，平面CDE⊥平面ADCB．BO⊥平面CDE．于是BP⊥DM．即可得出∠OPB是平面BDM與平面ABF（即平面ABF）所成銳二面角．由于cos∠OPB=

6

6

，可得BP=

2 30

5

．可得sin∠MDC=

OP

OD

=

5

5

．而sin∠ECD=

2

2 5

=

5

5

．而DM=MC，同理DM=EM．M為EC的中點，利用三棱錐的體積計算公式可得V_M-BDE=V_B-DEM=

1

3

S△DEM•AD．

解答： （I）證明：取ED的中點N，連接MN．
又∵點M是EC中點．
∴MN∥DC，MN=

1

2

DC．
而AB∥DC，AB=

1

2

DC．
∴MN

∥

.

BA，
∴四邊形ABMN是平行四邊形．
∴BM∥AN．
而BM?平面ADEF，AN?平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF．
（Ⅱ）取CD的中點O，過點O作OP⊥DM，連接BP．
∵AB∥CD，AB=

1

2

CD=2，
∴四邊形ABOD是平行四邊形，
∵AD⊥DC，
∴四邊形ABOD是矩形．
∴BO⊥CD．
∵正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，
∴ED⊥平面ADCB．
∴平面CDE⊥平面ADCB．
∴BO⊥平面CDE．
∴BP⊥DM．
∴∠OPB是平面BDM與平面ABF（即平面ABF）所成銳二面角．
∵cos∠OPB=

6

6

，∴sin∠OPB=

30

6

．
∴

OP

BP

=

30

6

，解得BP=

2 30

5

．
∴OP=BPcos∠OPB=

2 5

5

．
∴sin∠MDC=

OP

OD

=

5

5

．
而sin∠ECD=

2

2 5

=

5

5

．
∴DM=MC，同理DM=EM．
∴M為EC的中點，
∴

S

△DEM

=

1

2

S

△CDE

=2，
∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE與CD相交于D
∴AD⊥平面CDE．
∵AB∥CD，
∴三棱錐B-DME的高=AD=2，
∴V_M-BDE=V_B-DEM=

1

3

S△DEM•AD=

4

3

．

點評：本題考查了三角形的中位線定理、梯形的定義、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的作法與應(yīng)用、三棱錐的體積計算公式，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．