Question

已知函數f（x）=，其中，，且w為正實數．
（1）求f（x）的最小值；
（2）對任意m∈R，函數y=f（x），x∈[m，m+4π]的圖象與直線2y+1=0有且僅有一個交點，試判斷函數f（x+）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵，=（siωx+cosωx，1），
函數 f（x）==cosωx（sinωx+cosωx）+0=sinωx•cosωx+cos²ωx
=sin2ωx+=sin（2ωx+）+．
故函數 f（x）的最小值為-1+=-．
（2）由題意可得，函數的周期為4π，故=4π，ω=．
∴f（x+）=sin（x++）+=cos（）+=cos（-）+，x∈R，
故函數f（x+） 為偶函數．
分析：（1）利用兩個向量的數量積公式，兩角和的正弦公式化簡函數f（x）=sin（2ωx+）+，由此求得它的最小值．
（2）由題意可得，函數的周期為4π，由此求得ω的值，化簡函數f（x+）的解析式cos（）+，可得函數為偶函數．
點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，兩角和的正弦公式，余弦函數的奇偶性，誘導公式的應用，屬于中檔題．