Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點滿足方程.

（1）求點M的軌跡C的方程；

（2）作曲線C關于軸對稱的曲線，記為，在曲線C上任取一點，過點P作曲線C的切線l，若切線l與曲線交于A，B兩點，過點A，B分別作曲線的切線，證明的交點必在曲線C上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）將方程兩邊平方化簡即得解；

（2）求出曲線在處的切線方程，聯立直線與拋物線方程，消去，列出韋達定理，設，，分別求出曲線上在，兩點處的切線，的方程，求出，的交點，即可得證.

（1）由，

兩邊平方并化簡，得，

即，

所以點M的軌跡C的方程為.

（2）由（1）及題意可知曲線：，

又由知，

所以點處的切線方程為，

即，

又因為點在曲線C上，

所以，

所以切線方程為，

聯立消去整理得，，

設，，

所以，，（*）

又由，得，

所以曲線上點處的切線的方程為，

即，

同理可知，曲線上點處的切線的方程為，

聯立方程組，

又由（*）式得，

所以，的交點為，此點在曲線C上，

故，的交點必在曲線C上.