【題目】如圖,三棱錐D-ABC中,,E,F分別為DB,AB的中點,且
.
(1)求證:平面平面ABC;
(2)求二面角D-CE-F的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2) .
【解析】
(1)取的中點
,可得
,
,從而得到
平面
,得到
,由
,
,得到
,從而得到
平面
,所以平面
平面
;(2)以
為原點,建立空間直角坐標系,利用余弦定理和勾股定理,得到
,
,得到
的法向量
,平面
的法向量
,根據向量夾角的余弦公式,得到二面角
的余弦值
(1)如圖取的中點
,連接
,
,
因為,所以
,
因為,所以
,
又因為,所以
平面
,
平面
所以.
因為,
分別為
,
的中點,所以
.
因為,即
,
則.
又因為,
所以平面
,
又因為平面DAB,
所以平面平面
.
(2)因為平面
,則以
為坐標原點,
過點與
垂直的直線為
軸,
為
軸,AD為
軸,
建立如下圖所示的空間直角坐標系.
因為,
在中,
,
所以.
在中,
,
所以點,
,
.
設平面的法向量為
.
所以,即
,
可取.
設平面的法向量為
.
所以,即
,
可取,
則
因為二面角為鈍二面角,所以二面角
的余弦值為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某汽車生產廠家為了解某型號電動汽車的“實際平均續航里程數”,收集了使用該型號電動汽車年以上的部分客戶的相關數據,得到他們的電動汽車的“實際平均續航里程數”.從年齡在40歲以下的客戶中抽取10位歸為A組,從年齡在40歲(含40歲)以上的客戶中抽取10位歸為B組,將他們的電動汽車的“實際平均續航里程數”整理成下圖,其中“+”表示A組的客戶,“⊙”表示B組的客戶.
注:“實際平均續航里程數”是指電動汽車的行駛總里程與充電次數的比值.
(Ⅰ)記A,B兩組客戶的電動汽車的“實際平均續航里程數”的平均值分別為,
,根據圖中數據,試比較
,
的大小(結論不要求證明);
(Ⅱ)從A,B兩組客戶中隨機抽取2位,求其中至少有一位是A組的客戶的概率;
(III)如果客戶的電動汽車的“實際平均續航里程數”不小于350,那么稱該客戶為“駕駛達人”.從A,B兩組客戶中,各隨機抽取1位,記“駕駛達人”的人數為,求隨機變量
的分布列及其數學期望
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1,A2,A3和3個歐洲國家B1,B2,B3中選擇2個國家去旅游.
(1)若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家的概率;
(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各選1個,求這兩個國家包括A1,但不包括B1的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線(
,
)的一條漸近線方程為
,點
在雙曲線上;拋物線
(
)的焦點F與雙曲線的右焦點重合.
(1)求雙曲線和拋物線的標準方程;
(2)過焦點F作一條直線l交拋物線于A,B兩點,當直線l的斜率為時,求線段
的長度.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】受電視機在保修期內維修費等因素的影響,企業生產每臺電視機的利潤與該電視機首次出現故障的時間有關.某電視機制造廠生產甲、乙兩種型號電視機,保修期均為2年,現從該廠已售出的兩種型號電視機中各隨機抽取50臺,統計數據如下:
品牌 | 甲 | 乙 | |||
首次出現故障時間x(年) | |||||
電視機數量(臺) | 3 | 5 | 42 | 8 | 42 |
每臺利潤(千元) | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.8 |
將頻率視為概率,解答下列問題:
(1)從該廠生產的甲種型號電視機中隨機抽取一臺,求首次出現故障發生在保修期內的概率;
(2)該廠預計今后這兩種型號電視機銷量相當,由于資金限制,只能生產其中一種型號電視機,若從經濟效益的角度考慮,你認為應該產生哪種型號電視機?說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】一只藥用昆蟲的產卵數y與一定范圍內的溫度x有關,現收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數據如下表:
溫度x/℃ | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
產卵數y/個 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
經計算得:
,
,
線性回歸模型的殘差平方和
,
,
其中分別為觀測數據中的溫度和產卵數,
(1)若用線性回歸模型,求y關于x的回歸方程(精確到0.1);
(2)若用非線性回歸模型求得y關于x的回歸方程為,且相關指數
.
①試與1中的回歸模型相比,用說明哪種模型的擬合效果更好.
②用擬合效果好的模型預測溫度為35℃時該用哪種藥用昆蟲的產卵數(結果取整數)
附:一組數據其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計為
,
;相關指數
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】太極是中國古代的哲學術語,意為派生萬物的本源.太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案,俗稱陰陽魚.太極圖形象化地表達了陰陽輪轉,相反相成是萬物生成變化根源的哲理.太極圖形展現了一種互相轉化,相對統一的形式美.按照太極圖的構圖方法,在平面直角坐標系中,圓被
的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案,圖中的兩個一黑一白的小圓通常稱為“魚眼”,已知小圓的半徑均為
,現在大圓內隨機投放一點,則此點投放到“魚眼”部分的概率為( )
A. B.
C.
D.
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